Andy Peetermans

Archive for the ‘Douglas Hofstadter’ Category

Matematika enigmo

In Douglas Hofstadter, Matematiko on Aŭgusto 29, 2012 at 08:27

Legante libron de Douglas Hofstadter – filo de Robert Hofstadter, usona fizikisto kiu en 1961 ricevis Nobel-premion – mi  estis plenmense kaptita de puzlo:

Se oni disponas pri la literserio MI, ĉu eblas produkti el ĝi la novan serion MU per apliko de la sekvontaj kvar reguloj?

  1. Se serio finiĝas per I, oni rajtas aldoni post ĝi U. Per tiu ĉi regulo, eblas krei MIU surbaze de MI.
  2. Oni ĉiam rajtas plilongigi la serion per duobligo de ĉio, kio troviĝas post la komenca M. Per tiu ĉi regulo, eblas krei MII surbaze de MI, kaj MIUIU surbaze de MIU.
  3. Se serio enhavas la sinsekvon III, oni rajtas anstataŭigi ĝin per U. Surbaze de MIIII, eblas krei MIU aŭ MUI.
  4. Se serio enhavas la sinsekvon UU, oni rajtas forigi ĝin. Surbaze de MUU, eblas krei M.

Mi scias ke la solvo troviĝas ie en la libro, sed mi deziris mem malkovri ĝin kaj ekis la serĉadon… Sed ne estis facile, kaj mi ĝis nun ne sukcesis; la esploro tamen kondukis min al neatenditaj regionoj. (Eble ankaŭ vi preferas mem fari propran esploron, tiuokaze konsilindas prokrasti la plulegon.)

Gödel, Escher, Bach: Eterna ora plekto. Metafora fugo per mensoj kaj maŝinoj, laŭ la spirito de Lewis Caroll.

Serĉante MU

Kiel oni komencas tian ĉi taskon? Principe estas simple: oni rigardas sian materialon kaj konsideras, kion eblas fari per ĝi. Nia komenca serio estas MI, kaj aplikeblas al ĝi la reguloj 1 (aldono de U post fina I) kaj 2 (duobligo): la rezultoj estas MIU kaj MII.

Ĉar por atingi Finan Venkon ni devas krei MU, la serio MIU estas por ni sen ia utilo: al ĝi aplikeblas sole la dua regulo, kaj per sinsekvaj aplikoj oni ricevas la novajn seriojn MIUIU, MIUIUIUIU, ktp, senfine. Neniam eblos apliki alian regulon por malplilongigi la serion ĝis la dezirata MU.

Konsekvence, ni koncentru nian okupiĝon sur MII. Estas klare ke apliko de la unua regulo estus ĉi tie same senutila, ĉar MIIU estas same nereduktebla (nemalplilongigebla) kiel MIU. Apliko de la dua regulo liveras MIIII, kaj post sinsekvaj aplikoj oni ricevas MIIIIIIII (okoble I), MIIIIIIIIIIIIIIII (deksesoble), ktp, senfine.

Se ni estas iom matematikemaj, ni rimarkas ke la nombro da I multobliĝas laŭ la propra logiko de tiu nombroserio, kiun oni kutimas nomi potencoj de du: 2 (unua potenco), 4 (2×2, dua potenco), 8 (2x2x2, tria), 16 (2x2x2x2, kvara), 32, 64, 128, 256, 512, 1024 (deka potenco)… Ĉiu nova elemento naskiĝas el la duobliĝo de sia antaŭanto; eblas senfine plilongigi tiun serion, naskante ĉiam pli grandajn nombrojn.

Nu, ĉi tie ne rekte interesas nin krei senfinajn seriojn da I: ni ja volas redukti la serion en tia maniero, ke ni atingos la arde sopiratan serion MU.

La ŝlosilon por tiu mallongigo proponas al ni la reguloj 3 (III>U) kaj 4 (UU rajtas foriĝi). Se ni povus, ekzemple, ricevi la serion MIIIIIIIII, eblus fari el tiu MUUU, kaj poste MU. Sed bedaŭrinde, naŭ ne troviĝas en la listo de potencoj de du: tiu serio restas do por ni neatingebla…

En tiu ĉi momento, ideo fulmas en la kapo.

Por solvi la problemon kaj produkti MU, nur necesas trovi potencon de du, kiu estas dividebla per tri! Kiam ni atingos tiun potencon, ni nur simple uzu la regulon 3 por anstataŭigi ĉiujn I-ojn per U-oj, kaj poste uzu la regulon 4 por forigi la U-ojn, ĝis restos unu sola! (Kaj se necese, ni povos aldoni – uzante la regulon 1 – plusan U antaŭ ol komenci la anstataŭigadon, do sukceso estas garantita.)

Neatenditaj profundoj

Komenciĝu la kalkulado!

2, 4, 8, 16 kaj 32 ne divideblas per tri; la samo validas por 64, 128, 256, 512, 1024. Sed ni ne cedu: ni provu ankaŭ 2048; 4069; 8192; 16 384; 32 768; 65 536; 131 072…

Atingante la dudek-kvinan potencon de du (kiu, cetere, estas 33 554 432) kaj trovante, ke ankaŭ ĝi ne divideblas per tri, ni decidas peti la helpon de Google. Esploro de la (angleparolanta) interreto tuj montras, ke ni ne estas solaj. Pluraj personoj en retlistoj kaj forumoj proponis tiun saman demandon: ĉu ekzistas potenco de 2 divibebla per 3? Unu persono eĉ verkis simplan programon por kontroli la divideblecon de la du-potencoj ĝis la 1023a: tio estas nombro, konsistanta el 316 ciferoj! Sed ankaŭ li renkontis neniun trafon.

Sufiĉe rapide Google liveras al ni la respondon: ĝi kuŝas en kurioza (sed nedubeble bazkona por ĉia ajn matematikemulo pli sperta ol la aŭtoro de tiu ĉi blogo) matematika fakto, kiu nomiĝas teoremo de unika faktorigo. Tiu teoremo, kune kun la scio ke 2 kaj 3 estas primoj, baldaŭ komprenigas al ni ke neniu potenco de 2 povus esti dividebla per 3 (nek per 5, 7, 11, 13…), pro la simpla fakto ke ĉiu dupotenco estas – laŭdifine! – skribebla kiel la multobligo de serio da 2-oj.

Sindesegno: aŭtoro kreas, kaj lia kreitaĵo kreas lin.

Konkludoj:

  1. MU verŝajne ĉiam restos utopio.
  2. Matematiko, kvankam mi ne tre ŝatis ĝin en la lernejo, estas intriga fako.
Tussen Droom en Daad

Hersenspinsels van een jonge twintiger

Eric Linus Kaplan

Honest ontology, fantasy and comedy. Writer on "Big Bang Theory" and of "Does Santa Exist: A Philosophical Investigation"

Background Educations

It's never too late to learn

Mainzer Beobachter

Weblog van Jona Lendering

Mijn boeken en ik - boekrecensies

Boekrecensies door Leuvens grootste boekenfan

Apoftegma

het weblog van Richard Kroes

Gaston Dorren, taaljournalist

Taal, talen, taalkunde

Evy Van Eynde

Pent, kribbelt, denkt, plakt letters aan elkaar...

Latin for Addicts

pars sanitatis velle sanari fuit.

Lies Our Parents Told Us

Righteous Indignation with a Nerdy Inclination

Radio Spada

Radio Spada - Tagliente ma puntuale

The Happy Logophile

... obsessed with words for more than thirty years.

Eŭropa Civitano

Ĉar ni vivas kune en Eŭropo...

vibrisse, bollettino

di letture e scritture a cura di giulio mozzi

Solo io e il silenzio

appunti disordinati di Morena Fanti

Inspiring Science

Casting light on great ideas

The Indie Writer/Director

A topnotch WordPress.com site

Federico Gobbo

entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

Mia Mondo Laŭ Mi

Unu tago al plia.

Eugen Fabian

plur-lingvismo kaj Esperanto

%d bloggers like this: